FOS-Mathe-Trainer

Willkommen beim FOS Mathe Trainer!

Auf diesen Seiten findet Ihr Nützliches rund um den Mathe-Unterricht in den 11. und 12. Klassen der Fachoberschule (FOS).

In Summen kürzen nur …

04 Apr

hge | 4. April 2010 | Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Den Satz über Summen kennt man ja, und nur wenige von Euch werden etwa aus dem Bruch $\frac{3+4}{3+1}$ die Drei „rauskürzen” und damit das Ergebnis 4 erhalten…

Ähnliche Fehler tauchen aber oft beim Rechnen mit Wurzeln auf — im Unterricht habe ich z. B. oft Umformungen à la $\sqrt{x^2+4} = \sqrt{x^2} + \sqrt{4} = x+2$ gesehen. Das ist gleich doppelt falsch: Die Wurzel der Summe darf man nicht in die Summe der beiden Wurzeln umwandeln, und außerdem ist auch $\sqrt{x^2} = x$ nur für positive x (oder x=0) richtig — für negative nicht!

Was mit Wurzeln geht, ist das Auseinanderziehen von Produkten: Für beliebige positive x und y gilt: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ . Auch das ist wie bei Brüchen: Da darf man ja ebenfalls in Produkten kürzen, aber eben nicht in Summen.

Ableitung von f(x)=(x+k)ⁿ

03 Apr

hge | 3. April 2010 | Analysis (FOS 12) | 2 Kommentare

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 4.50 von 5)

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Wenn Ihr eine Funktion der Form

$f(x) = (x+3)^5$

seht und Euch fragt, wie die Ableitung dazu aussieht, könnt Ihr zunächst überlegen, dass $f(x) = (x+3)^5$ ganz ähnlich aussieht wie $g(x) = x^5$ — nur um 3 Einheiten nach links entlang der x-Achse verschoben. Von g(x) ist die Ableitung bekannt: $g'(x) = 5x^4$ . Jetzt müsst Ihr nur den Graph von $g'$ um 3 Einheiten nach links schieben, und schon habt Ihr die Ableitung von $f$ :

$f'(x) = 5(x+3)^4$

Im Technikzweig ist das natürlich direkt über die Kettenregel klar, mit innerer Funktion $x \mapsto x+3$ .

Statt 3 darf auch jede andere Verschiebung auftauchen, und es klappt nicht nur mit der 5. Potenz, sondern mit jeder. Es gilt also allgemein:

$f(x) = (x+k)^n \Rightarrow f'(x) = n(x+k)^{n-1}$

für beliebige aber konstante k.

Kombinationen ohne Wiederholung

03 Apr

hge | 3. April 2010 | Stochastik (FOS 12) | 2 Kommentare

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 4.75 von 5)

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Zur Herleitung von $n \choose k$ als Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung habe ich einen Satz Folien erstellt.

Zunächst eine kurze Wiederholung der Begriffe:

Bei Variationen interessiert uns die Reihenfolge, wir ziehen z. B. drei Kugeln aus einer Urne mit sechs Kugeln (ohne Zurücklegen, also ohne Wiederholung), und wir notieren uns die gezogenen Kugeln in der Reihenfolge, in der wir sie entnehmen. Die Ziehung (3, 5, 6) ist damit eine andere Ziehung als (6, 5, 3).
Bei Kombinationen ignorieren wir die Reihenfolge, wichtig ist nur, welche Kugeln am Ende da sind. Wenn wir das so betrachten, sind die Ziehungen (3, 5, 6) und (6, 5, 3) identisch.

Ziehen wir aus einer Urne mit n Kugeln (wir können annehmen, dass diese von 1 bis n durchnummeriert sind) k-mal, dann nennen wir die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung $V_{oW}(n;k)$ und die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung $K_{oW}(n;k)$ .

Hier gehts weiter »

Skript zur Kurvendiskussion

02 Apr

hge | 2. April 2010 | Analysis (FOS 12) | Keine Kommentare »

(2 Bewertungen, Durchschnitt: 4.50 von 5)

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Für meine Schüler/innen habe ich ein Skript zur Kurvendiskussion erstellt. Ihr findet es auch auf dieser Webseite: Kurvendiskussion.pdf. Es behandelt knapp auf vier Seiten die Themen Extremwerte und Wendepunkte und hat noch einen Block zur oft nötigen Polynomdivision. Am Anfang gibt’s außerdem zur Erinnerung eine kurze Definition des Ableitungsbegriffs.

Dieses Skript würde ich bei Interesse noch ausbauen; schreibt mir doch, was Ihr darin zusätzlich finden wollt.

Faktor x? Nullstelle 0!

02 Apr

hge | 2. April 2010 | Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 3.00 von 5)

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Oft tauchen Funktionen (oder Gleichungen) ohne „konstanten” Anteil auf, also etwas wie $f(x)=3x^2+5x$ oder $x^2-4x=0$ . Bitte verwendet bei der Nullstellensuche in solchen Funktionen nicht die Mitternachtsformel — durch Ausklammern von $x$ geht das viel einfacher, z. B.:

$f(x)=3x^2+5x = x(3x+5)$ , also Nullstellen 0 und -5/3
$x^2-4x=0$ , $x(x-4)=0$ , also x=0 oder x=4

Wenn Ihr das nicht direkt seht: Ein Faktor x bedeutet, dass ein (erster oder einziger) Schritt in Richtung einer Linearfaktorzerlegung da ist, denn es gilt ja $x=(x-0)$ , also ist z. B. oben $x(3x+5)=3x(x+5/3)=3(x-0)(x-(-5/3))$ , und daraus kann man die Nullstellen (0, -5/3) direkt ablesen.

Über die Mitternachtsformel kommt Ihr bei dieser Situation natürlich zur selben Lösung, müsst aber deutlich mehr rechnen und aufschreiben (und dabei können auch mehr Rechenfehler passieren).

Genauso sollte man übrigens auch für Dinge wie $x^2-9$ oder $2x^2-8$ nicht die Mitternachtsformel bemühen, sondern sehen, dass man das schneller erledigen kann:

Weil $x^2-9=0$ die Lösungen $\pm 3$ hat, ist sofort klar: $x^2-9=(x-3)(x+3)$
Im zweiten Beispiel erst 2 ausklammern: $2x^2-8 = 2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

Die Mitternachtsformel ist wirklich für den ganz allgemeinen Fall gedacht, also den, wo in $ax^2+bx+c$ keine der drei Zahlen a, b, c gleich 0 ist.

2 ist nicht die einzige „Wurzel” aus 4

31 Mrz

hge | 31. März 2010 | Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 1.00 von 5)

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Der Taschenrechner ist anderer Meinung: 4 eingeben, Wurzeltaste drücken, Ergebnis ist 2. Und auch die Wurzelfunktion ist so definiert, es gilt natürlich $\sqrt{4}=2$ — aber: Wenn Ihr eine Gleichung der Form

$x^2=4$

löst, dann gibt es zwei Lösungen, +2 und -2. Die Wurzelfunktion ist nur so definiert, dass bei $\sqrt{x}$ immer die positive Zahl heraus kommt, deren Quadrat $x$ ist.

Beim Lösen einer allgemeinen quadratischen Gleichung verwendet Ihr die Mitternachtsformel und rechnet automatisch mit den beiden Lösungen $x_{1,2}$ (wenn die Diskriminante positiv ist und es damit zwei verschiedene Lösungen gibt). Hat die Gleichung die super einfache Form $x^2=z$ , dürft Ihr nicht vergessen, dass sowohl $\sqrt{z}$ als auch $-\sqrt{z}$ Lösungen sind.

Aufgaben selber basteln

31 Mrz

hge | 31. März 2010 | Lerntipps | Keine Kommentare »

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Manchmal „sitzt” ein Thema noch nicht so richtig, aber Ihr habt schon alle Aufgaben aus dem Mathebuch durch gerechnet? Oft könnt Ihr Euch selbst helfen und eigene Aufgaben basteln. Das geht ganz leicht, wie etwa in folgenden Beispielen:

Nullstellensuche in quadratischen Funktionen: Ihr könntet hier einfach „zufällige” Funktionen hernehmen, also irgendwelche Werte für a, b, c wählen und dann die Nullstellen von $f(x)=ax^2+bx+c$ ausrechnen. Dabei werden aber meist krumme Werte rauskommen. Besser ist es, mit dem Ziel anzufangen: Wählt einfach drei Zahlen a, $x_1$ und $x_2$ , rechnet $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ aus und bestimmt dann davon die Nullstellen. Vorteil: Als Lösung müssen wieder die Werte $x_1$ und $x_2$ rauskommen, Rechenfehler fallen also direkt auf.
Kurvendiskussion und Aufstellen von Funktionstermen: Diese beiden Aufgabentypen kann man prima kombinieren. Denkt Euch z. B. zu einer unbekannten Funktion Eigenschaften wie „Graph schneidet die x-Achse bei x=3″ oder „Graph hat einen Hochpunkt (3 ; 5)” aus. Für eine Funktion dritten Grades braucht Ihr genau vier Bedingungen, die sich aus den Eigenschaften ergeben. Wenn Ihr dann die passende Funktion sucht und findet, könnt Ihr damit eine Kurvendiskussion machen — und dann müssen wieder die vorher von Euch festgelegten Eigenschaften rauskommen.

Diese Vorgehensweise lässt sich auch auf andere Aufgabentypen übertragen.

Die Technik dieser Seite

31 Mrz

hge | 31. März 2010 | Allgemein | Keine Kommentare »

(Noch keine Bewertungen)

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Als Mathematiker und Informatiker kann ich mit dieser Seite gleich zwei Interessen verknüpfen: Dass es inhaltlich um Mathe geht, ist wohl klar Interessant finde ich aber auch die technische Seite.

Ich bin seit ca. 15 Jahren ein großer Linux-Fan, und darum läuft auch der Webserver, auf dem der FOS-Mathe-Trainer liegt, unter Linux, genauer gesagt: unter Debian Linux. Die Serversoftware selbst ist Apache, und damit ich nicht alle Seiten von Hand in HTML erstellen muss, benutze ich ein Content Management System namens WordPress: Damit kann ich z. B. Kategorien wie „Analysis (FOS 12)” mit wenigen Mausklicks anlegen und dann neue Beiträge in diese oder andere Kategorien reinpacken.

Die mathematischen Formeln erzeugt ein Plug-in für Wordpress, das LaTeX benutzt, um sie hübsch darzustellen — einschließlich Integral-, Summen- und anderen Sonderzeichen sowie „ordentlichen” Brüchen.

Im Vergleich dazu ist meine private Webseite hgesser.de „handgeschrieben”, dort setze ich mich also für fast jede Seite hin und schreibe HTML-Texte in eine neue Datei rein. Die Seite liegt übrigens auf dem selben Server im Internet, läuft also auch mit Linux/Apache. Nur benutzt sie kein Content Management System.

Hausaufgaben: Lästig aber nützlich

31 Mrz

hge | 31. März 2010 | Allgemein | 2 Kommentare

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Ok, ok, das wollt Ihr nicht hören: Hausaufgaben machen und regelmäßig merkwürdige Mathe-Aufgaben lösen ist vielleicht nicht für jeden die perfekte Freizeitbeschäftigung, aber es ist wichtig (wenn man eine einigermaßen passable Mathe-Note haben will; sonst nicht ).

Als ich selbst an der FOS Mathe unterrichtet habe, habe ich meinen Schülern dazu die folgende kleine Story aus meinem Mathestudium an der Uni erzählt. Nun ist zwar Studium und Schule nicht dasselbe, aber hier wie da gibt es Hausaufgaben, und das nicht ohne Grund: Hier gehts weiter »

Nullstellen quadratischer Funktionen

31 Mrz

hge | 31. März 2010 | Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

(2 Bewertungen, Durchschnitt: 1.00 von 5)

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Neben der Lösungsformel („Mitternachtsformel”) für die Nullstellen quadratischer Gleichungen ist vielleicht die wichtigste Information zum Thema, dass man verschiedene Fragen zu quadratischen Funktionen und quadratischen Gleichungen als ein und dasselbe erkennt. Wenn wir einmal die Funktion

$f(x)=ax^2+bx+c$

und außerdem die quadratische Gleichung

(I) $ax^2+bx+c=0$

betrachten, dann laufen alle folgenden Fragen auf dieselbe Aufgabe hinaus:

Bestimme die Nullstellen von $f(x)$
Löse die quadratische Gleichung (I)
Löse die quadratische Gleichung $f(x)=0$
Bestimme die Linearfaktorzerlegung $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f(x)$ mit der x-Achse

Auch beim Lösen quadratischer Ungleichungen müssen wir erst obige Aufgabe bearbeiten, denn das Vorzeichen der quadratischen Funktion ändert sich zwischen den Nullstellen (oder links von der ersten bzw. rechts von der zweiten Nullstelle) nicht mehr.

Ach ja, die Mitternachtsformel sieht so aus: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Wer sich lieber die „pq-Formel” merkt, kann auch damit arbeiten, muss dann aber zunächst $a$ ausklammern, deswegen bietet sich diese einfachere Formel nur dann an, wenn $a=1$ gilt, also $f(x)=x^2+bx+c$ bzw. $f(x)=x^2+px+q$ ist. Für $a=0$ haben wir gar keine quadratische Funktion/Gleichung: Dann gibt es nämlich keine $x^2$ , und das Ganze wird linear.

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