Wer Videos besser findet, als etwas im Buch nachzulesen, sollte also einen Blick auf die Seite werfen: http://www.j3L7h.de/videos.html. Skripte, Aufgaben und Lösungen stehen auf: http://www.j3L7h.de

Meine Antwort:

Was ist denn ein Berührpunkt? Zwei Funktionen f(x) und g(x) berühren sich in x0, wenn erstens f(x0)=g(x0) gilt (gleicher Funktionswert) und zweitens die Steigungen an dieser Stelle identisch sind, also f’(x0)=g’(x0) gilt. Wäre die zweite Bedingung nicht erfüllt, wäre es ein Schnittpunkt und kein Berührpunkt.

Die Lösung ist also: Erst f(x)=g(x) setzen, Lösungen bestimmen (das gibt die Berühr- und Schnittpunkte), und dann überprüfen, für welche davon auch f’(x0)=g’(x0) gilt.

Wäre ein Bruch, dann könnte man schreiben, wobei und natürliche Zahlen wären: . Wir nehmen an, dass dieser Bruch schon so weit wie möglich gekürzt ist — statt würden wir dann also schreiben.

Wenn wir nun die Gleichung quadrieren, erhalten wir , und Multiplikation mit ergibt . Da und natürliche Zahlen sind, sind es auch und . Die Zahl ist gerade (ein Vielfaches von 2), damit ist wegen der Gleichheit auch gerade. Eine ungerade Zahl zum Quadrat ist wieder ungerade (z. B. ), also muss auch gerade sein. Damit ist ein Vielfaches von 4, weil es die Quadratzahl einer geraden Zahl ist.

muss also auch durch 4 teilbar sein, das heißt: ist durch 2 teilbar — also wieder gerade. Das geht nur (wie wir schon gesehen haben), wenn auch gerade ist.

Damit haben wir insgesamt herausgefunden: Aus der Annahme, dass wäre, folgt durch einfache Rechnungen, dass und beide gerade sind. Einen Bruch, der im Nenner und im Zähler gerade Zahlen stehen hat, kann man aber kürzen: Man kann Nenner und Zähler durch 2 teilen. Wir hatten aber angenommen, dass der Bruch schon maximal gekürzt ist. Damit stoßen wir auf einen Widerspruch zu unserer Annahme — die damit nicht wahr sein kann!

Damit habt Ihr die Methode Beweis durch Widerspruch kennengelernt: Wenn man, ausgehend von einer Annahme, auf einen Widerspruch stößt, heißt dass, dass die ursprüngliche Annahme falsch ist — also ihr Gegenteil gilt. Und die Annahme war hier, dass man schreiben kann und dieser Bruch bereits maximal gekürzt ist. Das Gegenteil dieser (falschen) Annahme ist: Es gibt keine Möglichkeit, mit einem maximal gekürzten Bruch zu schreiben; dann gibt es aber gar keinen Bruch aus natürlichen Zahlen, der gleich ist (denn jeden Bruch kann man solange kürzen, bis es nicht mehr geht).

Das folgende Video führt in die Berechnung von Ableitungen ein:

Alle Inhalte sind kostenlos verfügbar, und ein schöner Nebeneffekt ist, dass Ihr gleich noch die englischen Fachausdrücke mitlernt

Eine Funktion dritten Grades mit Parameter

Wenn eine Funktion in ihrer Definition auch einen Parameter t (oder k oder noch anders benannt) enthält, schreibt man statt . Der Parameter sollte zunächst nicht weiter stören: Alles, was man mit „normalen” Funktionen machen kann, geht auch mit Parameterfunktionen, z. B. die Ableitung ausrechnen, etwa so:

Bei der Kurvendiskussion müsst Ihr dann aber aufpassen, weil z. B. die Existenz von Nullstellen (der Funktion oder der 1. oder 2. Ableitung) vom Parameter abhängig sein kann. Wählt man z. B. in obiger Funktion den Parameter t=0, dann hat die Ableitung keine Nullstelle, und damit keine Extrema.

Ein einfaches Beispiel

Betrachten wir die Funktion , die vom Parameter abhängt. Die Ableitung ist und unabhängig von , die einzige Nullstelle von ist 0, für die zweite Ableitung gilt . Damit hat bei ein Minimum — und das gilt für jeden Parameter .

Das ist ja auch klar, denn der Graph von ist eine Normalparabel, die um entlang der y-Achse verschoben ist.

Zurück zum Anfangsbeispiel

Etwas komplizierter sind die Rechnungen beim Anfangsbeispiel

Sie funktionieren auch wie üblich, z. B. findet die Mitternachtsformel die Nullstellen der ersten Ableitung, die eine quadratische Funktion ist:

Auch hier müsst Ihr wieder auf den Parameter achten: Die Wurzel kann man nur für ausrechnen, also für oder . Für gibt es damit keine Nullstellen.

Um das Beispiel zu Ende zu rechnen: Die zweite Ableitung ist

Zunächst gilt allgemein, dass

Für und für gilt dann

womit wir bei ein relatives Minimum und bei ein relatives Maximum gefunden haben. Dass also (von links nach rechts betrachtet) zunächst ein Maximum (bei ) und dann ein Minimum (bei ) auftaucht, sollte auch anschaulich klar sein: Die Funktion hat Grad 3, und vor dem x³ steht eine positive Zahl, die Funktion „kommt also von links aus dem Minus-Unendlichen und geht nach rechts ins Positiv-Unendliche”, damit muss das Maximum vor dem Minimum kommen.

Ist , dann ist die zweite Ableitung an den Stellen gleich 0, so dass wir dafür den Vorzeichenwechseln von untersuchen müssen. Da in diesem Fall gilt (doppelte Nullstelle der ersten Ableitung), ist aber direkt klar, dass es keinen Vorzeichenwechsel gibt ( berührt die x-Achse, schneidet sie also nicht). Wir haben dann also einen Terrassenpunkt (auch klar über die Suche nach Wendepunkten: und für alle x).

Viel Frickelei

Fazit: Tauchen Parameter in einer Funktion auf, bleiben die Aufgaben (wie Nullstellensuche, Extremwertsuche etc.) im Prinzip die gleichen — sie werden nur rechnerisch anspruchsvoller, weil z. B. die Lage von Nullstellen jetzt immer vom Parameter abhängt und oft Fallunterscheidungen nötig sind: Oben im Beispiel gibt es etwa für weder Extrema noch Terrassenpunkte, für einen Terrassenpunkt und für alle anderen t zwei Extrema. Aber wer „normale” Kurvendiskussion (mit Funktionen ohne Parameter) beherrscht, sollte sich auch von den kleinen „t”s nicht abschrecken lassen!

: die natürlichen Zahlen; .
Vorsicht: Manche Lehrbücher definieren so, dass 0 dazu gehört. Diese Bücher schreiben dann oder für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0.

: die natürlichen Zahlen mit Null;

: die ganzen Zahlen;

: die Bruchzahlen (Quotienten):

: die reellen Zahlen; die sind eine echte Obermenge von und enthalten z. B. und die Euler-Zahl e. Streng mathematisch kann man jede reelle Zahl x als Grenzwert einer Folge von Zahlen aus betrachten.

Es gilt .

Mit Hilfe des Cantorschen Diagonalisierungsverfahrens kann man zeigen, dass es „genauso viele” Bruchzahlen wie natürliche Zahlen gibt, die Mengen also „gleich groß sind”. Dabei muss man mit Größenangaben von unendlichen Mengen immer aufpassen. Was und gemeinsam haben, ist, dass sie abzählbar unendlich sind (man kann also eine unendlich lange Liste der in der Menge enthaltenen Zahlen aufschreiben, in der jede Zahl irgendwann auftauchen wird). Im Vergleich dazu ist überabzählbar unendlich groß.

Lineare Gleichungssysteme

Welche lineare Funktion besitzt einen Graph, der durch die Punkte (0; 0) und (1; 1) geht?

Und die Antwort darauf ist dann: Die Funktion . Die richtige Antwort sieht man leicht, und Ihr könnt diese Aufgabe auch ohne Gleichungssysteme lösen: Die Steigung muss sein, also , und Einsetzen eines der Punkte ergibt t=0.

Allgemein könntet Ihr bei dieser Aufgabe ansetzen: (das ist die allgemeine Form einer linearen Funktion), und wenn Ihr die beiden gegebenen Punkte (0; 0) und (1; 1) einsetzt, erhaltet Ihr

Das ist ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten m und t, und das schauen wir uns jetzt systematischer an.

Einführung

Ein einfaches lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen hat die Form

wobei feste reelle Zahlen sind. Nehmen wir als Beispiel das folgende System:

Um dieses System zu lösen, dürft Ihr die folgenden Umformungen am System durchführen:

1. Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten ()
2. Ersetzen einer Gleichung durch eine neue Gleichung, die entsteht, indem Ihr ein Vielfaches der Originalgleichung und ein Vielfaches einer beliebigen anderen Gleichung addiert — „Vielfache einer Gleichung” entstehen dabei durch Multiplizieren mit einer Zahl .
3. Vertauschen von Gleichungen

Das Vertauschen (Regel 3) ändert dabei gar nicbts am Gleichungssystem, es sorgt nur für mehr Übersicht. Wichtiger ist: Die Schritte nach Regeln 1 und 2 ändern zwar das Aussehen der Gleichungen, nicht aber die Lösungsmenge des Systems. Wir probieren das mit dem Beispiel von oben und nennen die beiden Gleichungen (I) und (II):

In einem ersten Schritt ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten ab — das ist nach Regel (2) erlaubt, denn wir rechnen: , auch beim Multiplizieren mit -1 entsteht ein „Vielfaches”. Das Ergebnis dieser Rechnung ist :

Damit ist eine Variable () bereits gelöst. Jetzt ziehen wir im nächsten Schritt zwei mal die (neue) zweite Gleichung von der ersten ab und schreiben das Ergebnis in die erste Zeile (wir rechnen also ):

Und damit sind wir in diesem Beispiel auch schon fertig, die Lösung ist .

Anzahl der Lösungen

In diesem Beispiel haben wir genau eine Lösung (also je einen Wert für und für ) heraus bekommen. Das ist aber nicht immer so — es kann auch passieren, dass es gar keine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

Keine Lösung gibt es, wenn sich Gleichungen widersprechen, ein einfaches Beispiel dafür ist:

Hier seht Ihr direkt: Links von den Gleichheitszeichen steht in beiden Gleichungen dasselbe (), aber rechts stehen verschiedene Werte (0 und 1) — nun kann aber eine Zahl nicht gleichzeitig 0 und 1 sein, also ist das Ganze nicht lösbar. Jede Lösung der ersten Gleichung wäre nämlich garantiert keine Lösung der zweiten Gleichung.

Unendlich viele Lösungen gibt es immer dann, wenn Ihr herausfindet, dass an eine Variable gar keine „Anforderungen” gestellt werden, z. B. hier:

Die zweite Gleichung ist hier einfach ein Vielfaches (das Doppelte) der ersten Gleichung. Wenn Ihr rechnet, erhaltet Ihr das einfachere System

Die erste Gleichung könnt Ihr zu umformen und dann sind alle Paare , die diese Gleichung erfüllen, Lösungen des Systems, also z. B. oder . Es kann auch vorkommen, dass beide Variablen frei wählbar sind, aber das kommt (hier, bei zwei Unbekannten) nur dann vor, wenn das Gleichungssystem von Anfang an nur aus den beiden identischen Gleichungen bestand. Bei komplizierteren Aufgaben mit mehr Unbekannten gibt es auch „sinnvolle” Beispiele, bei denen mehrere Variablen frei wählbar sind.

Mehr Variablen

Bis jetzt haben wir nur Systeme mit zwei Variablen gesehen — wir können aber auch mit drei, vier oder noch mehr Variablen arbeiten. Damit ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, muss es genauso viele Gleichungen wie Variablen geben. (Und dann ist noch nicht gesichert, dass es klappt, aber mit weniger Gleichungen können wir nie eine eindeutige Lösung finden.)

Nehmen wir als Beispiel folgendes System mit drei Gleichungen. Die Unbekannten heißen jetzt und :

Dieses Beispiel habe ich extra so übersichtlich gewählt, dass Ihr einfach durch Einsetzen von unten nach oben lösen könnt: Ihr seht direkt, dass ist. Durch Einsetzen ergeben sich und . So einfach sind die Aufgaben aber in der Regel nicht. Trotzdem wollen wir diese Aufgabe mit den drei Regeln von ganz oben lösen: Zieht Ihr Gleichung (II) von Gleichung (I) ab, erhaltet Ihr , und zieht Ihr Gleichung (III) von Gleichung (II) ab, kommt raus.

Jetzt ein schwierigeres Beispiel:

10-DM-Schein (Quelle: Bundesbank)

Wir wollen es mit einem Verfahren namens Gauß-Elimination (benannt nach seinem Erfinder, dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der auch auf dem alten 10-DM-Schein zu sehen war) lösen. Das Ziel des Verfahrens ist, die Gleichungen in eine Dreiecksform

oder

zu bringen, denn aus dieser Dreiecksform heraus kann man wieder einfach von unten nach oben durch Einsetzen lösen. Starten wir also mit der Beispielaufgabe. Der erste Schritt ist zu prüfen, ob in der ersten Zeile vor dem eine Zahl steht: Das tut sie (nämlich: 1), anderenfalls hätten wir erst Zeilen vertauschen müssen. Jetzt ziehen wir die erste Zeile (oder ein Vielfaches) so von der zweiten und dritten Zeile ab, dass dort die wegfallen. In der zweiten Zeile stehen , in der dritten . Wir rechnen also und und erhalten:

Damit haben wir den ersten Schritt Richtung Dreiecksform erledigt: Die erste Spalte ist „ausgeräumt” — außer in der ersten Zeile taucht nicht mehr auf. Dasselbe Spiel folgt jetzt für , wobei wir die erste Zeile des Systems nicht mehr betrachten. Wir berechnen eine neue dritte Zeile, indem wir die zweite von der dritten abziehen, also rechnen. Es ergibt sich:

Und an der Stelle ist die Aufgabe zum größten Teil gelöst — jetzt müssen wir nur noch durch mehrfaches Einsetzen und einfache Umformungen die ausrechnen. Wir erhalten:

Allgemeine Definition

Ganz allgemein hat ein lineares Gleichungssystem aus Gleichungen in Variablen also immer die folgende Form:

Es kann nur dann eine eindeutige Lösung haben, wenn es mindestens so viele Gleichungen wie Variablen gibt, also gilt. Es muss dann aber nicht eindeutig lösbar sein (wählt zum Beispiel mal dieselbe Gleichung).

Anwendung in der FOS 11

Die häufigste Anwendung in der 11. Klasse ist eine Aufgabe, bei der eine ganzrationale Funktion gesucht wird, von der man nur den Grad und Punkte kennt, welche auf dem Graph der Funktion liegen (also ). Man setzt dann allgemein an und schreibt:

und setzt dann die bekannten Punkte ein, erhält also z. B. für den ersten Punkt :

und das ist eine Gleichung mit den Unbekannten . Achtung und nicht verwirren lassen: Die Unbekannten heißen jetzt und nicht ! Auf gleiche Weise entsteht für jeden Punkt eine solche Gleichung, alle Gleichungen sind linear, also haben wir ein lineares Gleichungssystem.

Anwendung in der FOS 12

In der FOS 12 gibt es nach der Kurvendiskussion ganz ähnliche Steckbriefaufgaben. Nur sind hier meist nicht einfach ein paar Punkte gegeben, sondern Eigenschaften der Funktion, die Ihr nur in Gleichungen umsetzen könnt, wenn Ihr wisst, was Extrema, Wendepunkte etc. sind. Auch hier ist der Ansatz immer, die Funktion , deren Grad Ihr kennt, in der Form

aufzuschreiben. Dann schreibt Ihr noch die erste und zweite Ableitung dahinter. Aus den in der Aufgabenstellung gegebenen Informationen (etwa: Funktion hat im Punkt (3; 4) einen Wendepunkt) entstehen jetzt durch Einsetzen in die Funktion oder die Ableitungen wieder Gleichungen, und die löst Ihr am Ende wie hier beschrieben.

Matrixschreibweise

Häufig verwendet man für lineare Gleichungssysteme eine kürzere Schreibweise, bei der man die Variablen weglässt und nur noch die Koeffizienten aufschreibt. Für das Beispiel

sieht die Matrixschreibweise einfach so aus:

Man hat dann beim Gauß-Verfahren etwas weniger Schreibarbeit.

Einsetzungsverfahren

Wenn Euch das Gauß-Verfahren nicht gefällt, könnt Ihr auch das einfachere Einsetzungsverfahren verwenden, bei dem Ihr eine Zeile nach einer Variablen auflöst und dann in eine andere Zeile einsetzt. Speziell bei größeren Gleichungssystemen wird das aber schnell sehr unübersichtlich und deutlich mehr Rechnerei.

• Los geht es immer mit einer quadratischen Funktion in Standardform, z. B.
  
• Der erste Schritt ist, im Beispiel die 2 vor dem x² auszuklammern:
  
• Jetzt muss man sich überlegen, wie die 1. oder 2. binomische Formel funktioniert: bzw. . Nach dem Ausklammern geht es vorne immer mit los, also ist . In der Mitte muss jetzt oder stehen — wir finden da im Beispiel , damit muss sein.
  
  (denn es gilt: )
• Jetzt noch die konstanten Teile ausrechnen, und das Ergebnis steht da:
  

Mit den Formeln für die Scheitelpunktform geht das natürlich schneller:

Hier noch mal die „Bastelanleitung” für die quadratische Ergänzung in allgemeiner Form für die Funktion :

1. ausklammern:
2. in der Klammer aus „ein Quadrat machen”:
3. zusammenfassen:
4. und konstanten Teil ausmultiplizieren, ergibt schließlich

1. Nullstellensuche in falscher Funktion: Wenn Ihr wissen wollt, wo der Graph von die x-Achse schneidet, braucht Ihr die Nullstellen von selbst. Sucht Ihr nach Extrema, bestimmt Ihr die Nullstellen der ersten Ableitung (und setzt dann in ein um zu prüfen). Geht es um Wendepunkte, sind die Nullstellen der zweiten Ableitung gefragt (einsetzen in ). Wer hier die falsche Funktion oder Ableitung für eine bestimmte Aufgabe verwendet, kommt nirgendwohin.
2. Einfache Fehler beim Ableiten: Die Kurvendiskussion funktioniert nur, wenn Ihr das Handwerkszeug richtig einsetzen könnt: das Bilden der Ableitungen. Beliebte Fehler beim Ableiten: „Stehen-lassen” eines konstanten Terms (z. B. ist falsch), Parameter in Funktion falsch behandelt (z. B. ist falsch), im Technikzweig: Produkt-, Ketten- oder Quotientenregel falsch benutzen.
3. Beim Bestimmen eines Punktes x in die 1. oder 2. Ableitung einsetzen: Bei der Suche von Extremwerten und Wendepunkten findet Ihr ja zunächst nur einen x-Wert. Damit ein Punkt raus kommt, den Ihr ins Koordinatensystem einzeichnen könnt, müsst Ihr und nichts anderes berechnen. Oft steht in der Teilaufgabe dann schön greifbar die 1. bzw. 2. Ableitung auf dem Blatt, aber oder (je nach Aufgabe kommt da meist 0 raus) bringt für die Bestimmung des Punktes nichts. Den Punkt oder in den Graph einzuzeichnen, ist einfach falsch.
4. Aufgabe falsch abschreiben: Gar nicht so selten — wer schon beim Übertragen der Aufgabenstellung aufs Blatt einen Teil der Funktion weg lässt, eine Potenz von x oder ein Vorzeichen verdreht, verliert schon dabei einen Punkt. Noch fieser: Durch die Veränderung wird die Aufgabe meist schwieriger oder gar unlösbar. Variante: Die Aufgabe wird dadurch viel leichter, z. B. bei der Nullstellensuche in statt , das gibt dann zusätzlich Punktabzug wegen „Vereinfachung der Aufgabenstellung”. Also immer Vorsicht beim Abschreiben der Aufgabe
5. Fehler bei Nullstellensuche: Bei linearen Funktionen rechnet man die Nullstelle einfach durch Umformen aus; bei quadratischen nimmt man die Mitternachtsformel (oder pq-Formel); und bei Funktionen höheren Grades muss man die Nullstelle erraten und dann mit Polynomdivision weiter machen. Nullstellen müssen exakt sein, wenn Ihr z. B. seht, dass die Nullstelle hat, und dann Polynomdivision durch versucht, wird das schief gehen!
6. Graph nicht oder falsch zeichnen: Das Ziel der Kurvendiskussion ist ja, den Funktionsgraph zeichnen zu können — so, dass zumindest die markanten Punkte (wie eben Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) korrekt sind. Also zeichnet den Graph am Ende auch! Auch dann, wenn Ihr nicht alle Teilaufgaben lösen konntet und z. B. die Wendepunkte fehlen. Hat die Funktion ein Intervall als Definitionsbereich, unbedingt auch die Randpunkte einzeichnen (und vorher berechnen) — auch wenn das nicht extra in der Aufgabe steht. Schon die Aufforderung „Zeichnen Sie die Funktion auf ” enthält diese Teilaufgabe. Was auch nie schadet, ist ein paar zusätzliche Punkte zu berechnen (und einzuzeichnen), das ist aber meist nicht zwingend.