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Loading ...Die Zahl 
wird oft als Beispiel dafür angegeben, dass die Menge 
der reellen Zahlen wirklich größer als die Menge 
der rationalen Zahlen (also der Brüche) ist. In diesem Beitrag zeige ich Euch, dass das wirklich so ist: dass also 
gilt.
Wäre ein Bruch, dann könnte man 
schreiben, wobei 
und 
natürliche Zahlen wären: 
. Wir nehmen an, dass dieser Bruch schon so weit wie möglich gekürzt ist — statt 
würden wir dann also 
schreiben.
(4 Bewertungen, Durchschnitt: 4.75 von 5) Loading ...Hier gibt es mal eine Übersicht über die Zahlenmengen, mit denen Ihr auf der FOS arbeitet:
: die natürlichen Zahlen; 
.
Vorsicht: Manche Lehrbücher definieren so, dass 0 dazu gehört. Diese Bücher schreiben dann 
oder 
für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0.
: die natürlichen Zahlen mit Null; 
: die ganzen Zahlen; 
: die Bruchzahlen (Quotienten): 
: die reellen Zahlen; die sind eine echte Obermenge von und enthalten z. B. 
und die Euler-Zahl e. Streng mathematisch kann man jede reelle Zahl x als Grenzwert einer Folge von Zahlen aus betrachten.
Es gilt 
.
Mit Hilfe des Cantorschen Diagonalisierungsverfahrens kann man zeigen, dass es „genauso viele” Bruchzahlen wie natürliche Zahlen gibt, die Mengen also „gleich groß sind”. Dabei muss man mit Größenangaben von unendlichen Mengen immer aufpassen. Was und gemeinsam haben, ist, dass sie abzählbar unendlich sind (man kann also eine unendlich lange Liste der in der Menge enthaltenen Zahlen aufschreiben, in der jede Zahl irgendwann auftauchen wird). Im Vergleich dazu ist überabzählbar unendlich groß.
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