Loading ...So funktioniert quadratische Ergänzung (wenn man quadratische Funktionen auf Scheitelpunktform 
bringen will und sich die Formel dafür nicht merken kann):
- Los geht es immer mit einer quadratischen Funktion in Standardform, z. B.
- Der erste Schritt ist, im Beispiel die 2 vor dem x² auszuklammern:
- Jetzt muss man sich überlegen, wie die 1. oder 2. binomische Formel funktioniert:
bzw. 
. Nach dem Ausklammern geht es vorne immer mit 
los, also ist 
. In der Mitte muss jetzt 
oder 
stehen — wir finden da im Beispiel 
, damit muss 
sein.
(denn es gilt:
) - Jetzt noch die konstanten Teile ausrechnen, und das Ergebnis steht da:
Mit den Formeln für die Scheitelpunktform geht das natürlich schneller:
Hier noch mal die „Bastelanleitung” für die quadratische Ergänzung in allgemeiner Form für die Funktion 
:
ausklammern: 
- in der Klammer aus
„ein Quadrat machen”: 
- zusammenfassen:
- und konstanten Teil ausmultiplizieren, ergibt schließlich
(4 Bewertungen, Durchschnitt: 3.75 von 5)
oder 
hat), doch bei Funktionen dritten und höheren Grades müsst Ihr oft eine Nullstelle 
erraten und dann Polynomdivision durch 
machen.
, 
etc. Wenn Euer Taschenrechner Wertetabellen zu Funktionen erzeugen kann, gebt Ihr einfach die Funktion ein und lasst Euch mal die Funktionswerte anzeigen, die bei ganzzahligen x-Werten zwischen -5 und 5 rauskommen.
, 
, und bei Zahlen, die nicht das Quadrat eines Bruches sind, kommt halt eine Zahl mit vielen (sogar unendlich vielen) Nachkommastellen heraus, etwa 
.
zu, haben wir eine neue Funktion 
. Zeichnen wir ihren Funktionsgraph und dazu noch den von 
, dann ergeben beide Graphen zusammen eine um 90 Grad nach rechts gedrehte Normalparabel (siehe Bild).
, also 
), ist 
. Das bedeutet: 
und 
für alle 
ist das sofort klar: Da ist der Scheitelpunkt (0; 0), und wenn man 1 nach rechts geht (also x=1), erhält man als y-Koordinate 
.
mit 
und 
heißt quadratische Funktion. Die Bedingung 
sonst nur eine lineare Funktion wäre.
mit konstanten Zahlen 
hat. Es ist auch m=0 zugelassen, dann ist die Funktion konstant (=t), aber immer noch linear. (Das ist anders als bei den quadratischen!)
die Drei „rauskürzen” und damit das Ergebnis 4 erhalten…
gesehen. Das ist gleich doppelt falsch: Die Wurzel der Summe darf man nicht in die Summe der beiden Wurzeln umwandeln, und außerdem ist auch 
nur für positive x (oder x=0) richtig — für negative nicht!
. Auch das ist wie bei Brüchen: Da darf man ja ebenfalls in Produkten kürzen, aber eben nicht in Summen.
oder 
. Bitte verwendet bei der Nullstellensuche in solchen Funktionen nicht die Mitternachtsformel — durch Ausklammern von 
geht das viel einfacher, z. B.:
, also Nullstellen 0 und -5/3
, also x=0 oder x=4
, also ist z. B. oben 
, und daraus kann man die Nullstellen (0, -5/3) direkt ablesen.
oder 
nicht die Mitternachtsformel bemühen, sondern sehen, dass man das schneller erledigen kann:
die Lösungen 
hat, ist sofort klar: 
keine der drei Zahlen a, b, c gleich 0 ist.
— aber: Wenn Ihr eine Gleichung der Form
immer die positive Zahl heraus kommt, deren Quadrat 
(wenn die Diskriminante positiv ist und es damit zwei verschiedene Lösungen gibt). Hat die Gleichung die super einfache Form 
, dürft Ihr nicht vergessen, dass sowohl 
als auch 
Lösungen sind.
ausklammern, deswegen bietet sich diese einfachere Formel nur dann an, wenn 
gilt, also 
bzw. 
ist. Für 
haben wir gar keine quadratische Funktion/Gleichung: Dann gibt es nämlich keine