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Eine Funktion dritten Grades mit Parameter
Wenn eine Funktion 
in ihrer Definition auch einen Parameter t (oder k oder noch anders benannt) enthält, schreibt man 
statt . Der Parameter sollte zunächst nicht weiter stören: Alles, was man mit „normalen” Funktionen machen kann, geht auch mit Parameterfunktionen, z. B. die Ableitung ausrechnen, etwa so:
Bei der Kurvendiskussion müsst Ihr dann aber aufpassen, weil z. B. die Existenz von Nullstellen (der Funktion oder der 1. oder 2. Ableitung) vom Parameter abhängig sein kann. Wählt man z. B. in obiger Funktion den Parameter t=0, dann hat die Ableitung 
keine Nullstelle, und 
damit keine Extrema.
die x-Achse schneidet, braucht Ihr die Nullstellen von 
(und setzt dann in 
ein um zu prüfen). Geht es um Wendepunkte, sind die Nullstellen der zweiten Ableitung 
). Wer hier die falsche Funktion oder Ableitung für eine bestimmte Aufgabe verwendet, kommt nirgendwohin.
ist falsch), Parameter in Funktion falsch behandelt (z. B. 
ist falsch), im Technikzweig: Produkt-, Ketten- oder Quotientenregel falsch benutzen. 
oder 
hat), doch bei Funktionen dritten und höheren Grades müsst Ihr oft eine Nullstelle 
erraten und dann Polynomdivision durch 
machen.
, 
etc. Wenn Euer Taschenrechner Wertetabellen zu Funktionen erzeugen kann, gebt Ihr einfach die Funktion ein und lasst Euch mal die Funktionswerte anzeigen, die bei ganzzahligen x-Werten zwischen -5 und 5 rauskommen.
, 
, und bei Zahlen, die nicht das Quadrat eines Bruches sind, kommt halt eine Zahl mit vielen (sogar unendlich vielen) Nachkommastellen heraus, etwa 
.
zu, haben wir eine neue Funktion 
. Zeichnen wir ihren Funktionsgraph und dazu noch den von 
, dann ergeben beide Graphen zusammen eine um 90 Grad nach rechts gedrehte Normalparabel (siehe Bild).
, also 
), ist 
. Das bedeutet: 
und 
für alle 
auffassen, die Abbildung zeigt den Funktionsgraph und das Dreieck, das zwischen der Geraden und der x-Achse entsteht. Den Flächeninhalt bekommen wir dann über
suchen und in 
einsetzen, einmal Nullstellen von 
einsetzen (oder statt einsetzen jeweils eine Vorzeichenwechseltabelle von 
, dann heißt das, dass die Steigung von links kommend bis 
mit Ableitung 
— die Ableitung hat bei 0 ein Maximum, und die Funktion wechselt bei 0 die Krümmung von links nach rechts.
und 
) berechnet (und damit auch keine Zylindervolumen usw. berechnen kann), der wird an vielen Aufgaben einfach deswegen scheitern.
— nur um 3 Einheiten nach links entlang der x-Achse verschoben. Von g(x) ist die Ableitung bekannt: 
. Jetzt müsst Ihr nur den Graph von 
um 3 Einheiten nach links schieben, und schon habt Ihr die Ableitung von 
:
.
.