Die Zahl wird oft als Beispiel dafür angegeben, dass die Menge der reellen Zahlen wirklich größer als die Menge der rationalen Zahlen (also der Brüche) ist. In diesem Beitrag zeige ich Euch, dass das wirklich so ist: dass also gilt.

Wäre ein Bruch, dann könnte man schreiben, wobei und natürliche Zahlen wären: . Wir nehmen an, dass dieser Bruch schon so weit wie möglich gekürzt ist — statt würden wir dann also schreiben.

Wenn wir nun die Gleichung quadrieren, erhalten wir , und Multiplikation mit ergibt . Da und natürliche Zahlen sind, sind es auch und . Die Zahl ist gerade (ein Vielfaches von 2), damit ist wegen der Gleichheit auch gerade. Eine ungerade Zahl zum Quadrat ist wieder ungerade (z. B. ), also muss auch gerade sein. Damit ist ein Vielfaches von 4, weil es die Quadratzahl einer geraden Zahl ist.

muss also auch durch 4 teilbar sein, das heißt: ist durch 2 teilbar — also wieder gerade. Das geht nur (wie wir schon gesehen haben), wenn auch gerade ist.

Damit haben wir insgesamt herausgefunden: Aus der Annahme, dass wäre, folgt durch einfache Rechnungen, dass und beide gerade sind. Einen Bruch, der im Nenner und im Zähler gerade Zahlen stehen hat, kann man aber kürzen: Man kann Nenner und Zähler durch 2 teilen. Wir hatten aber angenommen, dass der Bruch schon maximal gekürzt ist. Damit stoßen wir auf einen Widerspruch zu unserer Annahme — die damit nicht wahr sein kann!

Damit habt Ihr die Methode Beweis durch Widerspruch kennengelernt: Wenn man, ausgehend von einer Annahme, auf einen Widerspruch stößt, heißt dass, dass die ursprüngliche Annahme falsch ist — also ihr Gegenteil gilt. Und die Annahme war hier, dass man schreiben kann und dieser Bruch bereits maximal gekürzt ist. Das Gegenteil dieser (falschen) Annahme ist: Es gibt keine Möglichkeit, mit einem maximal gekürzten Bruch zu schreiben; dann gibt es aber gar keinen Bruch aus natürlichen Zahlen, der gleich ist (denn jeden Bruch kann man solange kürzen, bis es nicht mehr geht).

(3 Bewertungen, Durchschnitt: 4.67 von 5)

 Loading ...

Schlagwörter: reelle Zahlen, Wurzel

Dieser Beitrag wurde am Samstag, 12. Juni 2010 um 13:10 erstellt und gehört zur Kategorie Zahlen (FOS 11). Kommentare als RSS 2.0 Feed. Du kannst eine Antwort schreiben oder ein trackback von Deiner eigenen Webseite anlegen.