Lineare Gleichungssysteme lernt Ihr in der 11. Klasse kennen — braucht sie aber vor allem in der 12. Klasse für Aufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und Ihr berechnen sollt, wie die Funktion „aussieht”, also wie ihre Funktionsdefinition lautet. Das einfachste denkbare Beispiel dafür wäre von dieser Art:

Welche lineare Funktion besitzt einen Graph, der durch die Punkte (0; 0) und (1; 1) geht?

Und die Antwort darauf ist dann: Die Funktion . Die richtige Antwort sieht man leicht, und Ihr könnt diese Aufgabe auch ohne Gleichungssysteme lösen: Die Steigung muss sein, also , und Einsetzen eines der Punkte ergibt t=0.

Allgemein könntet Ihr bei dieser Aufgabe ansetzen: (das ist die allgemeine Form einer linearen Funktion), und wenn Ihr die beiden gegebenen Punkte (0; 0) und (1; 1) einsetzt, erhaltet Ihr

Das ist ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten m und t, und das schauen wir uns jetzt systematischer an.

Einführung

Ein einfaches lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen hat die Form

wobei feste reelle Zahlen sind. Nehmen wir als Beispiel das folgende System:

Um dieses System zu lösen, dürft Ihr die folgenden Umformungen am System durchführen:

1. Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten ()
2. Ersetzen einer Gleichung durch eine neue Gleichung, die entsteht, indem Ihr ein Vielfaches der Originalgleichung und ein Vielfaches einer beliebigen anderen Gleichung addiert — „Vielfache einer Gleichung” entstehen dabei durch Multiplizieren mit einer Zahl .
3. Vertauschen von Gleichungen

Das Vertauschen (Regel 3) ändert dabei gar nicbts am Gleichungssystem, es sorgt nur für mehr Übersicht. Wichtiger ist: Die Schritte nach Regeln 1 und 2 ändern zwar das Aussehen der Gleichungen, nicht aber die Lösungsmenge des Systems. Wir probieren das mit dem Beispiel von oben und nennen die beiden Gleichungen (I) und (II):

In einem ersten Schritt ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten ab — das ist nach Regel (2) erlaubt, denn wir rechnen: , auch beim Multiplizieren mit -1 entsteht ein „Vielfaches”. Das Ergebnis dieser Rechnung ist :

Damit ist eine Variable () bereits gelöst. Jetzt ziehen wir im nächsten Schritt zwei mal die (neue) zweite Gleichung von der ersten ab und schreiben das Ergebnis in die erste Zeile (wir rechnen also ):

Und damit sind wir in diesem Beispiel auch schon fertig, die Lösung ist .

Anzahl der Lösungen

In diesem Beispiel haben wir genau eine Lösung (also je einen Wert für und für ) heraus bekommen. Das ist aber nicht immer so — es kann auch passieren, dass es gar keine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

Keine Lösung gibt es, wenn sich Gleichungen widersprechen, ein einfaches Beispiel dafür ist:

Hier seht Ihr direkt: Links von den Gleichheitszeichen steht in beiden Gleichungen dasselbe (), aber rechts stehen verschiedene Werte (0 und 1) — nun kann aber eine Zahl nicht gleichzeitig 0 und 1 sein, also ist das Ganze nicht lösbar. Jede Lösung der ersten Gleichung wäre nämlich garantiert keine Lösung der zweiten Gleichung.

Unendlich viele Lösungen gibt es immer dann, wenn Ihr herausfindet, dass an eine Variable gar keine „Anforderungen” gestellt werden, z. B. hier:

Die zweite Gleichung ist hier einfach ein Vielfaches (das Doppelte) der ersten Gleichung. Wenn Ihr rechnet, erhaltet Ihr das einfachere System

Die erste Gleichung könnt Ihr zu umformen und dann sind alle Paare , die diese Gleichung erfüllen, Lösungen des Systems, also z. B. oder . Es kann auch vorkommen, dass beide Variablen frei wählbar sind, aber das kommt (hier, bei zwei Unbekannten) nur dann vor, wenn das Gleichungssystem von Anfang an nur aus den beiden identischen Gleichungen bestand. Bei komplizierteren Aufgaben mit mehr Unbekannten gibt es auch „sinnvolle” Beispiele, bei denen mehrere Variablen frei wählbar sind.

Mehr Variablen

Bis jetzt haben wir nur Systeme mit zwei Variablen gesehen — wir können aber auch mit drei, vier oder noch mehr Variablen arbeiten. Damit ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, muss es genauso viele Gleichungen wie Variablen geben. (Und dann ist noch nicht gesichert, dass es klappt, aber mit weniger Gleichungen können wir nie eine eindeutige Lösung finden.)

Nehmen wir als Beispiel folgendes System mit drei Gleichungen. Die Unbekannten heißen jetzt und :

Dieses Beispiel habe ich extra so übersichtlich gewählt, dass Ihr einfach durch Einsetzen von unten nach oben lösen könnt: Ihr seht direkt, dass ist. Durch Einsetzen ergeben sich und . So einfach sind die Aufgaben aber in der Regel nicht. Trotzdem wollen wir diese Aufgabe mit den drei Regeln von ganz oben lösen: Zieht Ihr Gleichung (II) von Gleichung (I) ab, erhaltet Ihr , und zieht Ihr Gleichung (III) von Gleichung (II) ab, kommt raus.

Jetzt ein schwierigeres Beispiel:

10-DM-Schein (Quelle: Bundesbank)

Wir wollen es mit einem Verfahren namens Gauß-Elimination (benannt nach seinem Erfinder, dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der auch auf dem alten 10-DM-Schein zu sehen war) lösen. Das Ziel des Verfahrens ist, die Gleichungen in eine Dreiecksform

oder

zu bringen, denn aus dieser Dreiecksform heraus kann man wieder einfach von unten nach oben durch Einsetzen lösen. Starten wir also mit der Beispielaufgabe. Der erste Schritt ist zu prüfen, ob in der ersten Zeile vor dem eine Zahl steht: Das tut sie (nämlich: 1), anderenfalls hätten wir erst Zeilen vertauschen müssen. Jetzt ziehen wir die erste Zeile (oder ein Vielfaches) so von der zweiten und dritten Zeile ab, dass dort die wegfallen. In der zweiten Zeile stehen , in der dritten . Wir rechnen also und und erhalten:

Damit haben wir den ersten Schritt Richtung Dreiecksform erledigt: Die erste Spalte ist „ausgeräumt” — außer in der ersten Zeile taucht nicht mehr auf. Dasselbe Spiel folgt jetzt für , wobei wir die erste Zeile des Systems nicht mehr betrachten. Wir berechnen eine neue dritte Zeile, indem wir die zweite von der dritten abziehen, also rechnen. Es ergibt sich:

Und an der Stelle ist die Aufgabe zum größten Teil gelöst — jetzt müssen wir nur noch durch mehrfaches Einsetzen und einfache Umformungen die ausrechnen. Wir erhalten:

Allgemeine Definition

Ganz allgemein hat ein lineares Gleichungssystem aus Gleichungen in Variablen also immer die folgende Form:

Es kann nur dann eine eindeutige Lösung haben, wenn es mindestens so viele Gleichungen wie Variablen gibt, also gilt. Es muss dann aber nicht eindeutig lösbar sein (wählt zum Beispiel mal dieselbe Gleichung).

Anwendung in der FOS 11

Die häufigste Anwendung in der 11. Klasse ist eine Aufgabe, bei der eine ganzrationale Funktion gesucht wird, von der man nur den Grad und Punkte kennt, welche auf dem Graph der Funktion liegen (also ). Man setzt dann allgemein an und schreibt:

und setzt dann die bekannten Punkte ein, erhält also z. B. für den ersten Punkt :

und das ist eine Gleichung mit den Unbekannten . Achtung und nicht verwirren lassen: Die Unbekannten heißen jetzt und nicht ! Auf gleiche Weise entsteht für jeden Punkt eine solche Gleichung, alle Gleichungen sind linear, also haben wir ein lineares Gleichungssystem.

Anwendung in der FOS 12

In der FOS 12 gibt es nach der Kurvendiskussion ganz ähnliche Steckbriefaufgaben. Nur sind hier meist nicht einfach ein paar Punkte gegeben, sondern Eigenschaften der Funktion, die Ihr nur in Gleichungen umsetzen könnt, wenn Ihr wisst, was Extrema, Wendepunkte etc. sind. Auch hier ist der Ansatz immer, die Funktion , deren Grad Ihr kennt, in der Form

aufzuschreiben. Dann schreibt Ihr noch die erste und zweite Ableitung dahinter. Aus den in der Aufgabenstellung gegebenen Informationen (etwa: Funktion hat im Punkt (3; 4) einen Wendepunkt) entstehen jetzt durch Einsetzen in die Funktion oder die Ableitungen wieder Gleichungen, und die löst Ihr am Ende wie hier beschrieben.

Matrixschreibweise

Häufig verwendet man für lineare Gleichungssysteme eine kürzere Schreibweise, bei der man die Variablen weglässt und nur noch die Koeffizienten aufschreibt. Für das Beispiel

sieht die Matrixschreibweise einfach so aus:

Man hat dann beim Gauß-Verfahren etwas weniger Schreibarbeit.

Einsetzungsverfahren

Wenn Euch das Gauß-Verfahren nicht gefällt, könnt Ihr auch das einfachere Einsetzungsverfahren verwenden, bei dem Ihr eine Zeile nach einer Variablen auflöst und dann in eine andere Zeile einsetzt. Speziell bei größeren Gleichungssystemen wird das aber schnell sehr unübersichtlich und deutlich mehr Rechnerei.

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Schlagwörter: Gauß-Verfahren, Lineares Gleichungssystem

Dieser Beitrag wurde am Donnerstag, 6. Mai 2010 um 12:44 erstellt und gehört zur Kategorie Gleichungssysteme (FOS 11), Zusammenfassungen. Kommentare als RSS 2.0 Feed. Du kannst eine Antwort schreiben oder ein trackback von Deiner eigenen Webseite anlegen.