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Funktionen mit Parameter

12 Mai

hge | 12. Mai 2010 | Analysis (FOS 12) | Keine Kommentare »

Eine Funktion dritten Grades mit Parameter

Wenn eine Funktion $f(x)$ in ihrer Definition auch einen Parameter t (oder k oder noch anders benannt) enthält, schreibt man $f_t(x)$ statt $f(x)$ . Der Parameter sollte zunächst nicht weiter stören: Alles, was man mit „normalen” Funktionen machen kann, geht auch mit Parameterfunktionen, z. B. die Ableitung ausrechnen, etwa so:

$f_t(x) = x^3 + t x^2 + 4x$

${f_t}'(x) = 3x^2 + 2tx + 4$

Bei der Kurvendiskussion müsst Ihr dann aber aufpassen, weil z. B. die Existenz von Nullstellen (der Funktion oder der 1. oder 2. Ableitung) vom Parameter abhängig sein kann. Wählt man z. B. in obiger Funktion den Parameter t=0, dann hat die Ableitung ${f_0}'(x) = 3x^2 + 4$ keine Nullstelle, und $f_0(x)$ damit keine Extrema.

Ein einfaches Beispiel

Betrachten wir die Funktion $\textstyle g_t(x) = x^2 + t$ , die vom Parameter $\textstyle t$ abhängt. Die Ableitung ist $\textstyle {g_t}'(x) = 2x$ und unabhängig von $\textstyle t$ , die einzige Nullstelle von $\textstyle {g_t}'(x)$ ist 0, für die zweite Ableitung gilt $\textstyle {g_t}''(x)=2 > 0$ . Damit hat $\textstyle g_t$ bei $\textstyle x=0$ ein Minimum — und das gilt für jeden Parameter $\textstyle t$ .

Das ist ja auch klar, denn der Graph von $\textstyle g_t$ ist eine Normalparabel, die um $\textstyle t$ entlang der y-Achse verschoben ist.

Zurück zum Anfangsbeispiel

Etwas komplizierter sind die Rechnungen beim Anfangsbeispiel

$f_t(x) = x^3 + t x^2 + 4x$

Sie funktionieren auch wie üblich, z. B. findet die Mitternachtsformel die Nullstellen der ersten Ableitung, die eine quadratische Funktion ist:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2t \pm \sqrt{(2t)^2-4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

$= \frac{-2t \pm \sqrt{4(t^2-12)}}{6} = \frac{-t \pm \sqrt{t^2-12}}{3}$

Auch hier müsst Ihr wieder auf den Parameter achten: Die Wurzel kann man nur für $t^2-12 \ge 0$ ausrechnen, also für $t \ge \sqrt{12}$ oder $t \le -\sqrt{12}$ . Für $t \in ] -\sqrt{12} ; \sqrt{12} [$ gibt es damit keine Nullstellen.

Um das Beispiel zu Ende zu rechnen: Die zweite Ableitung ist

${f_t}''(x) = 6x + 2t$

Zunächst gilt allgemein, dass

${f_t}''(x_{1,2}) = 6x_{1,2} + 2t = 6 \cdot \frac{-t \pm \sqrt{t^2-12}}{3} + 2t<br /> = -2t \pm 2 \sqrt{t^2-12} + 2t = \pm 2 \sqrt{t^2-12}$

Für $\textstyle t > \sqrt{12}$ und für $\textstyle t < -\sqrt{12}$ gilt dann

${f_t}''(x_{1}) > 0,\, {f_t}''(x_{2}) < 0$

womit wir bei $\textstyle x_1 = \frac{-t + \sqrt{t^2-12}}{3}$ ein relatives Minimum und bei $\textstyle x_2 = \frac{-t - \sqrt{t^2-12}}{3}$ ein relatives Maximum gefunden haben. Dass also (von links nach rechts betrachtet) zunächst ein Maximum (bei $\textstyle x_2$ ) und dann ein Minimum (bei $\textstyle x_1$ ) auftaucht, sollte auch anschaulich klar sein: Die Funktion $\textstyle f(x)$ hat Grad 3, und vor dem x³ steht eine positive Zahl, die Funktion „kommt also von links aus dem Minus-Unendlichen und geht nach rechts ins Positiv-Unendliche”, damit muss das Maximum vor dem Minimum kommen.

Ist $\textstyle t = \pm \sqrt{12}$ , dann ist die zweite Ableitung an den Stellen $\textstyle x_{1,2}$ gleich 0, so dass wir dafür den Vorzeichenwechseln von $\textstyle f'$ untersuchen müssen. Da in diesem Fall $\textstyle x_1=x_2$ gilt (doppelte Nullstelle der ersten Ableitung), ist aber direkt klar, dass es keinen Vorzeichenwechsel gibt ( $\textstyle f'$ berührt die x-Achse, schneidet sie also nicht). Wir haben dann also einen Terrassenpunkt (auch klar über die Suche nach Wendepunkten: $\textstyle {f_t}''(x_{1,2}) = 0$ und $\textstyle ({f_t}''' (x) = 6 > 0$ für alle x).

Viel Frickelei

Fazit: Tauchen Parameter in einer Funktion auf, bleiben die Aufgaben (wie Nullstellensuche, Extremwertsuche etc.) im Prinzip die gleichen — sie werden nur rechnerisch anspruchsvoller, weil z. B. die Lage von Nullstellen jetzt immer vom Parameter abhängt und oft Fallunterscheidungen nötig sind: Oben im Beispiel gibt es etwa für $\textstyle t \in \ ] -\sqrt{12}; \sqrt{12} [$ weder Extrema noch Terrassenpunkte, für $\textstyle t=\pm\sqrt{12}$ einen Terrassenpunkt und für alle anderen t zwei Extrema. Aber wer „normale” Kurvendiskussion (mit Funktionen ohne Parameter) beherrscht, sollte sich auch von den kleinen „t”s nicht abschrecken lassen!

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Schlagwörter: Kurvendiskussion, Parameter

Dieser Beitrag wurde am Mittwoch, 12. Mai 2010 um 13:39 erstellt und gehört zur Kategorie Analysis (FOS 12). Kommentare als RSS 2.0 Feed. Du kannst eine Antwort schreiben oder ein trackback von Deiner eigenen Webseite anlegen.