Zusammenfassung: Die Wurzelfunktion

23 Apr

hge | 23. April 2010 | Analysis (FOS 12), Funktionen (FOS 11), Zusammenfassungen | Keine Kommentare »

Wurzeln sind ja nicht sonderlich spektakulär: $\textstyle \sqrt{4} = 2$ , $\textstyle \sqrt{9}=3$ , und bei Zahlen, die nicht das Quadrat eines Bruches sind, kommt halt eine Zahl mit vielen (sogar unendlich vielen) Nachkommastellen heraus, etwa $\textstyle \sqrt{2} = 1,414213562373095048\dots$ .

Ordnen wir jeder Zahl x ihre Wurzel $\textstyle \sqrt{x}$ zu, haben wir eine neue Funktion $\textstyle f(x)=\sqrt{x}$ . Zeichnen wir ihren Funktionsgraph und dazu noch den von $\textstyle g(x) = -\sqrt{x}$ , dann ergeben beide Graphen zusammen eine um 90 Grad nach rechts gedrehte Normalparabel (siehe Bild).

Oben die positive Wurzel, unten die negative -- das sind zwei Funktionen!

Das liegt daran, dass das Wurzelziehen und das Quadrieren in einer besonderen Beziehung zueinander stehen: Solange wir nur nichtnegative Zahlen betrachten ( $\textstyle x \in \mathbb R^{*}$ , also $\textstyle x \in [ 0; \infty [$ ), ist $\textstyle f(x)=\sqrt{x}$ die Umkehrfunktion zu $\textstyle q(x)=x^2$ . Das bedeutet: $\textstyle f(q(x))=\sqrt{x^2}=x$ und $\textstyle q(f(x))=(\sqrt{x})^2=x$ für alle $\textstyle x \in \mathbb R^{*}$ .

Aus negativen Zahlen dürfen wir gar keine Wurzel ziehen — welche Zahl zum Quadrat sollte etwa -4 ergeben? Jedenfalls gilt das in der Schule; wenn Ihr später Physik oder Mathematik studiert, werdet Ihr noch weitere Zahlen kennenlernen, zu denen auch die Wurzeln aus negativen Zahlen gehören, das sind die so genannten komplexen Zahlen $\textstyle \mathbb C$ .

Ableitung

Die Funktion $\textstyle f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ hat die Ableitung $\textstyle f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Das könnt Ihr Euch am einfachsten merken, indem Ihr die klassische Regel für das Ableiten von Potenzen ( $\textstyle g(x)=x^n \Rightarrow g'(x)=nx^{n-1}$ ) auf die Darstellung der Wurzel als $\textstyle x^{\frac{1}{2}}$ anwendet.

Die Ableitung ist immer positiv, woraus folgt, dass $\textstyle f(x)=\sqrt{x}$ auf dem ganzen Definitionsbereich monoton steigend ist — das sieht man ja auch gleich am Graph der Funktion.

Gleichungen mit Wurzeln

Taucht die Wurzel in einer Gleichung auf, könnt Ihr versuchen, Euch durch Quadrieren der Lösung zu nähern. Das ist zum Beispiel dann nötig, wenn Ihr Nullstellen einer Funktion sucht, in der $\textstyle \sqrt{x}$ auftaucht:

Ist $\textstyle f(x) = 3\sqrt{x}-6$ , dann findet Ihr die Nullstellen von $\textstyle f(x)$ so: $\textstyle f(x) = 0 \iff 3\sqrt{x}-6=0 \iff 3\sqrt{x}=6 \iff \sqrt{x} = 2 \iff x=4$ .

Andere Wurzeln

Auch dritte, vierte etc. Wurzeln ( $\textstyle \sqrt[3]{x}, \sqrt[4]{x}$ ) können wir als Funktionen hernehmen und deren Ableitung bestimmen. Dabei hilft dann derselbe Trick wie bei der Quadratwurzel: Wir schreiben das Ganze einfach als Potenz. Zum Beispiel:

$\textstyle w_3(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \Rightarrow w_3'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

$\textstyle w_4(x) = \sqrt[4]{x} = x^{1/4} \Rightarrow w_4'(x) = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}}$

Die folgende Abbildung zeigt den Graph der dritten Wurzel (die auch Kubikwurzel genannt wird):

Der Graph der dritten Wurzel

Der Graph ist für negative x-Werte nur gestrichelt, die Mathematiker sind sich nämlich nicht darüber einig, ob man so etwas wie $\textstyle \sqrt[3]{-8} = -2$ schreiben sollte oder nicht — zwar ist es sinnvoll, zu $\textstyle -8$ eine dritte Wurzel ( $\textstyle -2$ ) anzugeben, denn $\textstyle -2$ ist die einzige Zahl, deren dritte Potenz $\textstyle (-2)^3=-8$ ist, aber die Gesetze zum Rechnen mit Wurzeln funktionieren nicht mehr, wenn man negative Werte zulässt:

$\textstyle (\sqrt[3]{-8}) = -2$ , aber $\textstyle \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ , und das verletzt das im Allgemeinen geltende Gesetz, nachdem $\textstyle \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n/m]{x}$ gilt.

Exkurs: Ableitung durch die Umkehrfunktion finden

Wenn wir die Quadratfunktion $\textstyle f(x)=x^2$ mit Ableitung $\textstyle f'(x)=2x$ nennen, hat die Tangente an diese Funktion im Punkt $\textstyle (x;y)$ die Steigung $\textstyle 2x$ . Wir nennen die Umkehrfunktion $\textstyle f^{-1}(y)=\sqrt{y}$ . Sie hat im Punkt $\textstyle (y; x)$ eine Tangente, die man zeichnen kann, indem man die Tangente an $\textstyle f(x)$ im Punkt $\textstyle (x;y) = (\sqrt{y}; y)$ an der Hauptdiagonalen spiegelt. Die Steigung von $\textstyle f$ ist dort $\textstyle 2x = 2\sqrt{y}$ .

Spiegeln an der Hauptdiagonalen heißt: Aus Steigung $\textstyle m$ wird Steigung $\textstyle \frac{1}{m}$ (im Steigungsdreieck sind Nenner und Zähler vertauscht), also $\textstyle \frac{1}{2\sqrt{y}}$ . Es muss also $\textstyle f^{-1}'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$ sein.

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Schlagwörter: Umkehrfunktion, Wurzel

Dieser Beitrag wurde am Freitag, 23. April 2010 um 21:04 erstellt und gehört zur Kategorie Analysis (FOS 12), Funktionen (FOS 11), Zusammenfassungen. Kommentare als RSS 2.0 Feed. Du kannst eine Antwort schreiben oder ein trackback von Deiner eigenen Webseite anlegen.