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Archiv für April, 2010

Geometrische Grundformen für Optimierungsprobleme

04 Apr

Tags: Extremwert, Geometrie, Optimierung
Kategorien: Analysis (FOS 12), Lerntipps | Keine Kommentare »

(5 Bewertungen, Durchschnitt: 3.40 von 5)

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Optimierungsprobleme sind beliebte Aufgaben für Schulaufgaben, Exen und andere schriftliche Prüfungen. Das grundsätzliche Verfahren zu kennen, ist eine Sache (und eigentlich das wichtigste), aber oft sind zum Lösen auch elementare Kenntnisse über geometrische Körper nötig. Wer z. B. nicht weiß, wie man Umfang und Fläche eines Kreises ( $2 \pi r$ und $\pi r^2$ ) berechnet (und damit auch keine Zylindervolumen usw. berechnen kann), der wird an vielen Aufgaben einfach deswegen scheitern.

Es kann also nicht schaden, den alten Stoff noch mal aufzufrischen, z. B.:

Wie rechnet man die Fläche von Kreis, Dreieck, Parallelogramm aus? Und die Umfänge?
Was ist mit dem Volumen von Kugel, Zylinder, Quader? (Und nebenbei: Was ist der Unterschied zwischen Quader und Würfel?)
Wie lang ist die Diagonale im Rechteck?

In Summen kürzen nur …

04 Apr

Tags: Wurzel
Kategorien: Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Den Satz über Summen kennt man ja, und nur wenige von Euch werden etwa aus dem Bruch $\frac{3+4}{3+1}$ die Drei „rauskürzen” und damit das Ergebnis 4 erhalten…

Ähnliche Fehler tauchen aber oft beim Rechnen mit Wurzeln auf — im Unterricht habe ich z. B. oft Umformungen à la $\sqrt{x^2+4} = \sqrt{x^2} + \sqrt{4} = x+2$ gesehen. Das ist gleich doppelt falsch: Die Wurzel der Summe darf man nicht in die Summe der beiden Wurzeln umwandeln, und außerdem ist auch $\sqrt{x^2} = x$ nur für positive x (oder x=0) richtig — für negative nicht!

Was mit Wurzeln geht, ist das Auseinanderziehen von Produkten: Für beliebige positive x und y gilt: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ . Auch das ist wie bei Brüchen: Da darf man ja ebenfalls in Produkten kürzen, aber eben nicht in Summen.

Ableitung von f(x)=(x+k)ⁿ

03 Apr

Tags: Ableitung
Kategorien: Analysis (FOS 12) | 2 Kommentare »

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 4.50 von 5)

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Wenn Ihr eine Funktion der Form

$f(x) = (x+3)^5$

seht und Euch fragt, wie die Ableitung dazu aussieht, könnt Ihr zunächst überlegen, dass $f(x) = (x+3)^5$ ganz ähnlich aussieht wie $g(x) = x^5$ — nur um 3 Einheiten nach links entlang der x-Achse verschoben. Von g(x) ist die Ableitung bekannt: $g'(x) = 5x^4$ . Jetzt müsst Ihr nur den Graph von $g'$ um 3 Einheiten nach links schieben, und schon habt Ihr die Ableitung von $f$ :

$f'(x) = 5(x+3)^4$

Im Technikzweig ist das natürlich direkt über die Kettenregel klar, mit innerer Funktion $x \mapsto x+3$ .

Statt 3 darf auch jede andere Verschiebung auftauchen, und es klappt nicht nur mit der 5. Potenz, sondern mit jeder. Es gilt also allgemein:

$f(x) = (x+k)^n \Rightarrow f'(x) = n(x+k)^{n-1}$

für beliebige aber konstante k.

Kombinationen ohne Wiederholung

03 Apr

Tags: Binomialkoeffizient, Kombination, Kombinatorik, Variation
Kategorien: Stochastik (FOS 12) | 2 Kommentare »

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 4.75 von 5)

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Zur Herleitung von $n \choose k$ als Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung habe ich einen Satz Folien erstellt.

Zunächst eine kurze Wiederholung der Begriffe:

Bei Variationen interessiert uns die Reihenfolge, wir ziehen z. B. drei Kugeln aus einer Urne mit sechs Kugeln (ohne Zurücklegen, also ohne Wiederholung), und wir notieren uns die gezogenen Kugeln in der Reihenfolge, in der wir sie entnehmen. Die Ziehung (3, 5, 6) ist damit eine andere Ziehung als (6, 5, 3).
Bei Kombinationen ignorieren wir die Reihenfolge, wichtig ist nur, welche Kugeln am Ende da sind. Wenn wir das so betrachten, sind die Ziehungen (3, 5, 6) und (6, 5, 3) identisch.

Ziehen wir aus einer Urne mit n Kugeln (wir können annehmen, dass diese von 1 bis n durchnummeriert sind) k-mal, dann nennen wir die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung $V_{oW}(n;k)$ und die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung $K_{oW}(n;k)$ .

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Skript zur Kurvendiskussion

02 Apr

Tags: Extremwert, Kurvendiskussion, Skript, Wendepunkt
Kategorien: Analysis (FOS 12) | Keine Kommentare »

(2 Bewertungen, Durchschnitt: 4.50 von 5)

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Für meine Schüler/innen habe ich ein Skript zur Kurvendiskussion erstellt. Ihr findet es auch auf dieser Webseite: Kurvendiskussion.pdf. Es behandelt knapp auf vier Seiten die Themen Extremwerte und Wendepunkte und hat noch einen Block zur oft nötigen Polynomdivision. Am Anfang gibt’s außerdem zur Erinnerung eine kurze Definition des Ableitungsbegriffs.

Dieses Skript würde ich bei Interesse noch ausbauen; schreibt mir doch, was Ihr darin zusätzlich finden wollt.

Faktor x? Nullstelle 0!

02 Apr

Tags: Mitternachtsformel, Nullstelle
Kategorien: Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 3.00 von 5)

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Oft tauchen Funktionen (oder Gleichungen) ohne „konstanten” Anteil auf, also etwas wie $f(x)=3x^2+5x$ oder $x^2-4x=0$ . Bitte verwendet bei der Nullstellensuche in solchen Funktionen nicht die Mitternachtsformel — durch Ausklammern von $x$ geht das viel einfacher, z. B.:

$f(x)=3x^2+5x = x(3x+5)$ , also Nullstellen 0 und -5/3
$x^2-4x=0$ , $x(x-4)=0$ , also x=0 oder x=4

Wenn Ihr das nicht direkt seht: Ein Faktor x bedeutet, dass ein (erster oder einziger) Schritt in Richtung einer Linearfaktorzerlegung da ist, denn es gilt ja $x=(x-0)$ , also ist z. B. oben $x(3x+5)=3x(x+5/3)=3(x-0)(x-(-5/3))$ , und daraus kann man die Nullstellen (0, -5/3) direkt ablesen.

Über die Mitternachtsformel kommt Ihr bei dieser Situation natürlich zur selben Lösung, müsst aber deutlich mehr rechnen und aufschreiben (und dabei können auch mehr Rechenfehler passieren).

Genauso sollte man übrigens auch für Dinge wie $x^2-9$ oder $2x^2-8$ nicht die Mitternachtsformel bemühen, sondern sehen, dass man das schneller erledigen kann:

Weil $x^2-9=0$ die Lösungen $\pm 3$ hat, ist sofort klar: $x^2-9=(x-3)(x+3)$
Im zweiten Beispiel erst 2 ausklammern: $2x^2-8 = 2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

Die Mitternachtsformel ist wirklich für den ganz allgemeinen Fall gedacht, also den, wo in $ax^2+bx+c$ keine der drei Zahlen a, b, c gleich 0 ist.

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