Häufig verwendet man die Integralrechnung, um Flächen zu berechnen, die zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse liegen. Wenn Ihr dabei unvorsichtig seid, können falsche Ergebnisse rauskommen — dazu ein paar Beispiele:
f(x)=x, Integral von 0 bis 1: Fläche 0,5
Zunächst den Fall, in dem alles klappt. Wir wollen den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das durch die Punkte (0; 0) (Ursprung), (1; 0) und (1; 1) begrenzt wird. Das Ergebnis sollte 0,5 sein, denn es ist ein durch die Diagonale „abgeteiltes” Quadrat mit Kantenlänge 1. Diese Diagonale können wir als Graph der einfachen Funktion 
auffassen, die Abbildung zeigt den Funktionsgraph und das Dreieck, das zwischen der Geraden und der x-Achse entsteht. Den Flächeninhalt bekommen wir dann über
Aber was passiert, wenn wir dieselbe Funktion auf dem Intervall [-1; 1] betrachten? 
nimmt für negative x-Werte auch negative y-Werte an, der Graph läuft unterhalb der x-Achse. Die Gesamtfläche setzt sich also aus zwei Dreiecken zusammen: eines links unterhalb der x-Achse, eines rechts oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt ist zusammengerechnet 1.
f(x)=x, Integral von -1 bis 1
Wenn Ihr jetzt einfach
rechnet, bekommt Ihr offensichtlich ein falsches Ergebnis (0). Der Rechenfehler liegt daran, dass Ihr beim Integrieren negative Werte erhaltet, wenn die Funktion unter der x-Achse liegt. Das Integral „unterscheidet” zwischen Kurven, die oberhalb und unterhalb der x-Achse verlaufen. Der Trick ist nun, für den Funktionsgraph erst festzustellen, auf welchen Intervallen die Werte „oben” liegen und auf welchen „unten”. Dazu müsst Ihr die Nullstellen der Funktion bestimmen, denn an diesen Stellen kann (muss aber nicht) sich das Vorzeichen der Funktion ändern.
Im Beispiel :
für 
für 
Um den Flächeninhalt zu bestimmen, müsst Ihr im Beispiel die Intervalle [-1; 0] und [0; 1] separat behandeln; auf den Intervallen, wo die Kurve unter der x-Achse liegt, integriert Ihr dann 
statt 
. Die Fläche ist damit:
(6 Bewertungen, Durchschnitt: 4.67 von 5)
Loading ...