FOS-Mathe-Trainer

Willkommen beim FOS Mathe Trainer!

Auf diesen Seiten findet Ihr Nützliches rund um den Mathe-Unterricht in den 11. und 12. Klassen der Fachoberschule (FOS).

Wurzel aus 2 ist kein Bruch

12 Jun

hge | 12. Juni 2010 | Zahlen (FOS 11) | Keine Kommentare »

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Die Zahl $\textstyle \sqrt{2}$ wird oft als Beispiel dafür angegeben, dass die Menge $\textstyle \mathbb R$ der reellen Zahlen wirklich größer als die Menge $\textstyle \mathbb Q$ der rationalen Zahlen (also der Brüche) ist. In diesem Beitrag zeige ich Euch, dass das wirklich so ist: dass also $\textstyle \sqrt{2} \notin \mathbb Q$ gilt.

Wäre $\textstyle \sqrt{2}$ ein Bruch, dann könnte man $\textstyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ schreiben, wobei $\textstyle a$ und $\textstyle b$ natürliche Zahlen wären: $\textstyle a, b \in \mathbb N$ . Wir nehmen an, dass dieser Bruch schon so weit wie möglich gekürzt ist — statt $\textstyle \frac{4}{8}$ würden wir dann also $\textstyle \frac{1}{2}$ schreiben.

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Geniale Videos auf Khanacademy.org

10 Jun

hge | 10. Juni 2010 | Allgemein | Keine Kommentare »

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Eine riesige Auswahl von Videos mit Mathe-Erklärungen bietet Salman Khan auf der Webseite http://www.khanacademy.org/ — allerdings auf Englisch. Wenn Euch das nicht abschreckt, solltet Ihr unbedingt mal reinschauen, der ganze Bereich der Differenzialrechnung findet sich z. B. unter der Überschrift „Calculus”, auch die Inhalte der 11. Klasse sind alle da.

Das folgende Video führt in die Berechnung von Ableitungen ein:

Alle Inhalte sind kostenlos verfügbar, und ein schöner Nebeneffekt ist, dass Ihr gleich noch die englischen Fachausdrücke mitlernt

Funktionen mit Parameter

12 Mai

hge | 12. Mai 2010 | Analysis (FOS 12) | Keine Kommentare »

(2 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Eine Funktion dritten Grades mit Parameter

Wenn eine Funktion $f(x)$ in ihrer Definition auch einen Parameter t (oder k oder noch anders benannt) enthält, schreibt man $f_t(x)$ statt $f(x)$ . Der Parameter sollte zunächst nicht weiter stören: Alles, was man mit „normalen” Funktionen machen kann, geht auch mit Parameterfunktionen, z. B. die Ableitung ausrechnen, etwa so:

$f_t(x) = x^3 + t x^2 + 4x$

${f_t}'(x) = 3x^2 + 2tx + 4$

Bei der Kurvendiskussion müsst Ihr dann aber aufpassen, weil z. B. die Existenz von Nullstellen (der Funktion oder der 1. oder 2. Ableitung) vom Parameter abhängig sein kann. Wählt man z. B. in obiger Funktion den Parameter t=0, dann hat die Ableitung ${f_0}'(x) = 3x^2 + 4$ keine Nullstelle, und $f_0(x)$ damit keine Extrema.

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Zahlenmengen

06 Mai

hge | 6. Mai 2010 | Zahlen (FOS 11) | Keine Kommentare »

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Hier gibt es mal eine Übersicht über die Zahlenmengen, mit denen Ihr auf der FOS arbeitet:

$\textstyle \mathbb N$ : die natürlichen Zahlen; $\textstyle \mathbb N = \{ 1, 2, 3, \dots \}$ .
Vorsicht: Manche Lehrbücher definieren $\textstyle \mathbb N$ so, dass 0 dazu gehört. Diese Bücher schreiben dann $\textstyle \mathbb N^{*}$ oder $\textstyle \mathbb N^{+}$ für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0.

$\textstyle \mathbb N_0$ : die natürlichen Zahlen mit Null; $\textstyle \mathbb N_0 = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} = \mathbb N \cup \{ 0 \}$

$\textstyle \mathbb Z$ : die ganzen Zahlen; $\textstyle \mathbb Z = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$

$\textstyle \mathbb Q$ : die Bruchzahlen (Quotienten): $\textstyle \mathbb Q = \{ \frac{z}{n}\ | \ z \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \}$

$\textstyle \mathbb R$ : die reellen Zahlen; die sind eine echte Obermenge von $\textstyle \mathbb Q$ und enthalten z. B. $\textstyle \pi, \sqrt{2}$ und die Euler-Zahl e. Streng mathematisch kann man jede reelle Zahl x als Grenzwert einer Folge von Zahlen aus $\textstyle \mathbb Q$ betrachten.

Es gilt $\textstyle \mathbb N \subset \mathbb N_0 \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$ .

Mit Hilfe des Cantorschen Diagonalisierungsverfahrens kann man zeigen, dass es „genauso viele” Bruchzahlen wie natürliche Zahlen gibt, die Mengen also „gleich groß sind”. Dabei muss man mit Größenangaben von unendlichen Mengen immer aufpassen. Was $\textstyle \mathbb N$ und $\textstyle \mathbb Q$ gemeinsam haben, ist, dass sie abzählbar unendlich sind (man kann also eine unendlich lange Liste der in der Menge enthaltenen Zahlen aufschreiben, in der jede Zahl irgendwann auftauchen wird). Im Vergleich dazu ist $\textstyle \mathbb R$ überabzählbar unendlich groß.

Zusammenfassung: Lineare Gleichungssysteme

06 Mai

hge | 6. Mai 2010 | Gleichungssysteme (FOS 11), Zusammenfassungen | Keine Kommentare »

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 4.00 von 5)

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Lineare Gleichungssysteme lernt Ihr in der 11. Klasse kennen — braucht sie aber vor allem in der 12. Klasse für Aufgaben, bei denen bestimmte Eigenschaften einer Funktion gegeben sind und Ihr berechnen sollt, wie die Funktion „aussieht”, also wie ihre Funktionsdefinition lautet. Das einfachste denkbare Beispiel dafür wäre von dieser Art:

Welche lineare Funktion besitzt einen Graph, der durch die Punkte (0; 0) und (1; 1) geht?

Und die Antwort darauf ist dann: Die Funktion $\textstyle f(x)=x$ . Die richtige Antwort sieht man leicht, und Ihr könnt diese Aufgabe auch ohne Gleichungssysteme lösen: Die Steigung muss $\textstyle \frac{1-0}{1-0}=1$ sein, also $\textstyle f(x)=x+t$ , und Einsetzen eines der Punkte ergibt t=0.

Allgemein könntet Ihr bei dieser Aufgabe ansetzen: $\textstyle f(x)=mx+t$ (das ist die allgemeine Form einer linearen Funktion), und wenn Ihr die beiden gegebenen Punkte (0; 0) und (1; 1) einsetzt, erhaltet Ihr

$\begin{array}{l}<br /> 0 = m \cdot 0 + t \\<br /> 1 = m \cdot 1 + t<br /> \end{array}$

Das ist ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten m und t, und das schauen wir uns jetzt systematischer an.

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Quadratische Ergänzung

01 Mai

hge | 1. Mai 2010 | Funktionen (FOS 11) | Keine Kommentare »

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So funktioniert quadratische Ergänzung (wenn man quadratische Funktionen auf Scheitelpunktform $\textstyle a(x-x_S)^2+y_S$ bringen will und sich die Formel dafür nicht merken kann):

Los geht es immer mit einer quadratischen Funktion in Standardform, z. B.
$f(x) = 2x^2+6x-1$
Der erste Schritt ist, im Beispiel die 2 vor dem x² auszuklammern:
$f(x) = 2(x^2+3x-0,5)$
Jetzt muss man sich überlegen, wie die 1. oder 2. binomische Formel funktioniert: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ bzw. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Nach dem Ausklammern geht es vorne immer mit $x^2$ los, also ist $a=x$ . In der Mitte muss jetzt $2ab$ oder $-2ab$ stehen — wir finden da im Beispiel $3 x$ , damit muss $b=3/2=1,5$ sein.
$f(x)=2( (x+1,5)^2-1,5^2-0,5)$
(denn es gilt: $\textstyle (x+1,5)^2 = x^2 + 3x + 1,5^2$ )
Jetzt noch die konstanten Teile ausrechnen, und das Ergebnis steht da:
$\textstyle f(x) = 2 ( (x+1,5)^2 -2,25-0,5) = 2 ( (x+1,5)^2 -2,75) = 2(x+1,5)^2-5,5$

Mit den Formeln für die Scheitelpunktform geht das natürlich schneller:

$x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{4} = -1,5; \quad y_S = c-\frac{b^2}{4a} = -1 - \frac{36}{8} = -1 - 4,5 = -5,5$

Hier noch mal die „Bastelanleitung” für die quadratische Ergänzung in allgemeiner Form für die Funktion $\textstyle f(x) = ax^2+bx+c$ :

$\textstyle a$ ausklammern: $\textstyle f(x) = a(x^2+\frac{b}{a}x + \frac{c}{a})$
in der Klammer aus $\textstyle x^2+\frac{b}{a}x$ „ein Quadrat machen”: $\textstyle x^2+\frac{b}{a}x = (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}$
zusammenfassen: $\textstyle f(x) = a( (x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2})$
$\textstyle a$ und konstanten Teil ausmultiplizieren, ergibt schließlich

$f(x) = a (x+\frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

Häufige Fehler bei der Kurvendiskussion

26 Apr

hge | 26. April 2010 | Analysis (FOS 12) | Keine Kommentare »

(4 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Hier mal eine kleine Liste von Fehlern bei der Kurvendiskussion, die ich öfter entdeckt habe:

Nullstellensuche in falscher Funktion: Wenn Ihr wissen wollt, wo der Graph von $\textstyle f(x)$ die x-Achse schneidet, braucht Ihr die Nullstellen von $\textstyle f(x)$ selbst. Sucht Ihr nach Extrema, bestimmt Ihr die Nullstellen der ersten Ableitung $\textstyle f'(x)$ (und setzt dann in $\textstyle f''(x)$ ein um zu prüfen). Geht es um Wendepunkte, sind die Nullstellen der zweiten Ableitung $\textstyle f''(x)$ gefragt (einsetzen in $\textstyle f'''(x)$ ). Wer hier die falsche Funktion oder Ableitung für eine bestimmte Aufgabe verwendet, kommt nirgendwohin.
Einfache Fehler beim Ableiten: Die Kurvendiskussion funktioniert nur, wenn Ihr das Handwerkszeug richtig einsetzen könnt: das Bilden der Ableitungen. Beliebte Fehler beim Ableiten: „Stehen-lassen” eines konstanten Terms (z. B. $\textstyle f(x)=x^2+3,\ f'(x)=2x+3$ ist falsch), Parameter in Funktion falsch behandelt (z. B. $\textstyle f_t(x) = x^2 + t^2, \ f_t'(x) = 2x +2t$ ist falsch), im Technikzweig: Produkt-, Ketten- oder Quotientenregel falsch benutzen. Hier gehts weiter »

Tipp: Eine Nullstelle findet man immer

25 Apr

hge | 25. April 2010 | Analysis (FOS 12), Funktionen (FOS 11), Lerntipps | Keine Kommentare »

(2 Bewertungen, Durchschnitt: 5.00 von 5)

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Bei der Kurvendiskussion müsst Ihr ständig Nullstellen suchen — je nach Aufgabenstellung von der Funktion selbst, von der ersten Ableitung (um Extremwerte zu finden) und von der zweiten Ableitung (für die Wendepunkte).

Eine Funktion mit drei Nullstellen

Sucht Ihr Nullstellen einer quadratischen Funktion, hilft ja die Mitternachtsformel (oder „scharfes Hinsehen”, wenn die Funktion z. B. die Form $\textstyle ax^2+c$ oder $\textstyle ax^2+bx$ hat), doch bei Funktionen dritten und höheren Grades müsst Ihr oft eine Nullstelle $\textstyle x_0$ erraten und dann Polynomdivision durch $\textstyle (x-x_0)$ machen.

In Prüfungsaufgaben, wo das nötig ist, ist meist mindestens eine Nullstelle „gutartig” in dem Sinne, dass man sie ganz schnell findet, also z. B. $\textstyle x_0=1$ , $\textstyle x_0=-2$ etc. Wenn Euer Taschenrechner Wertetabellen zu Funktionen erzeugen kann, gebt Ihr einfach die Funktion ein und lasst Euch mal die Funktionswerte anzeigen, die bei ganzzahligen x-Werten zwischen -5 und 5 rauskommen.

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Zusammenfassung: Die Wurzelfunktion

23 Apr

hge | 23. April 2010 | Analysis (FOS 12), Funktionen (FOS 11), Zusammenfassungen | Keine Kommentare »

(1 Bewertungen, Durchschnitt: 4.00 von 5)

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Wurzeln sind ja nicht sonderlich spektakulär: $\textstyle \sqrt{4} = 2$ , $\textstyle \sqrt{9}=3$ , und bei Zahlen, die nicht das Quadrat eines Bruches sind, kommt halt eine Zahl mit vielen (sogar unendlich vielen) Nachkommastellen heraus, etwa $\textstyle \sqrt{2} = 1,414213562373095048\dots$ .

Ordnen wir jeder Zahl x ihre Wurzel $\textstyle \sqrt{x}$ zu, haben wir eine neue Funktion $\textstyle f(x)=\sqrt{x}$ . Zeichnen wir ihren Funktionsgraph und dazu noch den von $\textstyle g(x) = -\sqrt{x}$ , dann ergeben beide Graphen zusammen eine um 90 Grad nach rechts gedrehte Normalparabel (siehe Bild).

Oben die positive Wurzel, unten die negative -- das sind zwei Funktionen!

Das liegt daran, dass das Wurzelziehen und das Quadrieren in einer besonderen Beziehung zueinander stehen: Solange wir nur nichtnegative Zahlen betrachten ( $\textstyle x \in \mathbb R^{*}$ , also $\textstyle x \in [ 0; \infty [$ ), ist $\textstyle f(x)=\sqrt{x}$ die Umkehrfunktion zu $\textstyle q(x)=x^2$ . Das bedeutet: $\textstyle f(q(x))=\sqrt{x^2}=x$ und $\textstyle q(f(x))=(\sqrt{x})^2=x$ für alle $\textstyle x \in \mathbb R^{*}$ .

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Negative Flächen — Integration

16 Apr

hge | 16. April 2010 | Analysis (FOS 12) | Keine Kommentare »

(2 Bewertungen, Durchschnitt: 4.50 von 5)

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Häufig verwendet man die Integralrechnung, um Flächen zu berechnen, die zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse liegen. Wenn Ihr dabei unvorsichtig seid, können falsche Ergebnisse rauskommen — dazu ein paar Beispiele:

f(x)=x, Integral von 0 bis 1: Fläche 0,5

Zunächst den Fall, in dem alles klappt. Wir wollen den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das durch die Punkte (0; 0) (Ursprung), (1; 0) und (1; 1) begrenzt wird. Das Ergebnis sollte 0,5 sein, denn es ist ein durch die Diagonale „abgeteiltes” Quadrat mit Kantenlänge 1. Diese Diagonale können wir als Graph der einfachen Funktion $f(x)=x$ auffassen, die Abbildung zeigt den Funktionsgraph und das Dreieck, das zwischen der Geraden und der x-Achse entsteht. Den Flächeninhalt bekommen wir dann über

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x\, dx = \Big[ \frac{1}{2}x^2 \Big]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{0}{2} = \frac{1}{2}$

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